Section 1 球坐标拉普拉斯算符
直角坐标拉普拉斯算符为：
考虑球坐标和直角坐标的关系：
于是：
对于一阶导数：
其中，代入：
并且有，于是：
有，于是：
于是考虑：
Section 2 球坐标中的定态薛定谔方程
2.1 分离变量法
考虑三维薛定谔方程：
考虑中心场，即，则考虑在球坐标下写出：
变形为：
考虑分离变量法，并除以得到：
因此这个等式等于一个常数，取为，于是得到：
变形为：
称为径向方程，而：
即空间方位角向方程。考虑再次分离变量，取，得到：
同样是个常数，考虑为，得到：
我们得到三个方程：
因此波函数为：
归一化为：
通常要求三个积分分别归一化。
2.2 方位角方程解
首先对于方位角方程：
考虑本征态代入：
得到解为：
满足周期性边界条件得到：
得到：
得到：
由此从物理上有效的的解只有：
考虑归一化得到：
2.3 极角方程解
而对于极角方程：
考虑换元，则，代入：
这是数学上标准的勒让德方程，注意到和对应同一个方程，根据数学物理方法知识，在满足：
时有解：
为连带勒让德函数：
因此考虑归一化：
因此：
从而得到：
于是球谐函数为：
2.4 径向方程
考虑径向方程：
考虑，则
归一化为：
考虑势能为氢原子势能：
得到：
取得到：
取得到：
为了获取解的形式，考虑渐进行为，当得到：
当得到：
于是得到：
代入原方程得到：
考虑级数解得到：
现在考虑发散问题，当时近似：
于是：
在边界处发散，因此必须截断在，得到：
这里，得到：
于是：
代入到级数解：
根据数学物理方法知识，它和连带拉盖尔多项式成正比：
这里为连带拉盖尔多项式，定义为：
由于最高次幂为，最高次幂为，因此有，即：
进一步考虑得到：
Section 3 角动量
3.1 本征函数
总角动量算符本征值
角动量算符为：
而
从而：
利用得到：
代入：
得到：
考虑它的本征方程：
这就是球谐函数满足的方程，因此我们直接得到是总角动量的本征值，而本征函数为球谐函数：
角动量分量算符本征值
考虑，它的本征方程为
考虑再作用一次：
这个方程我们就很熟悉了，它就是方位角方程，因此：
这就是说，算符的本征方程就是方位角方程。
对易力学量完全集
我们刚才的出发是薛定谔方程，本质是：
我们在这个方程的分离变量法中自然的给出角动量算符，其实这是因为：
观察到：
那么就有：
同理，和也具有类似的关系：
因此：
因此我们得到互相对易，构成一组对易力学量完全集，有共同的本征态，且：
3.2 代数法
现在让我们忘掉解析法得到的结果，通过一些基本的代数操作获得它们。
升降算符
经典力学：
在直角坐标系下：
满足：
定义角动量平方算符，于是：
因此有共同本征态：
定义角动量升降算符：
有：
从而有：
意味着仍然是的本征态，且本征值相同。而：
意味着仍是的本征态，但本征值为，这就是为什么我们称为升降算符，它不改变角动量大小，只改变角动量方向。
量子数
于是有：
因此存在取到最大本征值，存在取到最小本征值，换句话说，现在我们考虑如何利用这件事。
考虑对于的前两项有：
因此：
作用在两个本征态上：
在解析法的提示下，设得到：
考虑取，它们标志着最大最小能够取到的角动量本征值，通过升算符可以从升到，因此的取值为，记为，于是将本征态记为得到：
并且，当我们从利用升算符爬到时，走了步，有：
意味着必须是整数或者半整数。但是我们在解析法中不是明确表明，必须是整数吗，这说明解析法比代数法有着更窄的边界条件。我们将会看到，在自旋讨论中，这一结果发挥重要作用。
升降算符作用关系
现在我们考虑升降算符的作用关系：
并且和是厄米共轭的，这使得，再利用，得到：
同理：
因此得到：
Section 4 自旋
4.1 自旋角动量
仿造角动量节的定义：
同样：
定义升降算符
满足
满足：
4.2 自旋1/2粒子
Sz表象
对于自旋1/2粒子，即，则，分别记为:
即将表象的上下旋当作标准基，它是正交完备的，因此电子的自旋量子态可以表示为：
总角动量
对于总角动量算符有：
设在这个表象下的形式为：
代入：
因此得到的矩阵形式：
角动量z分量
对于角动量z分量有：
设的矩阵形式为:
代入：
得到：
升降算符
对于升降算符有
考虑设
代入得到：
即：
因此：
角动量xy分量
根据：
得到：
我们定义，得到：
有时候又称对应的角动量表象为对应表象。
如果我们考虑，我们可以验证：
即相互正交，这意味着这四个矩阵可以展开任意的2x2矩阵，这在下一节非常有用。
4.3 单量子比特态与Bloch球
单量子比特态
首先从一般的单量子叠加态出发，考虑基矢为，那么就有：
根据归一化条件：
考虑复数可以写成，得到：
考虑任何一个量子态和乘以一个全局相位因子的状态是物理上等价的，将量子比特状态记录为：
态密度矩阵
在过去我们只关心系统处于某个特定的状态，但当系统以概率处于时，过去的描述方法就不够了，我们需要态密度矩阵，它定义为：
- Trace
它的关键要素是迹(Trace)，对于一个矩阵，我们需要在特定的完备正交基下来考虑它的对角线元素，因此为：
并且，Trace是基不变的，这意味着，考虑取到作为基：
即态密度矩阵的迹是1。
- Operator
态密度矩阵通常作用在算符上，于是它的Trace：
这就是态密度矩阵的关键性质。
- Purity
通过计算的值可以快速的判断是否是纯态或者混合态，可以证明纯度：
在概率归一化时，满足如果纯度为1，则只有一个，其他为0，如果纯度不为，则至少有两个大于0。
- Entanglement
量子的许多混合态是纠缠造成的：
这个态也称为Bell态，认为两个系统的粒子只能同时处于00或者11，即纠缠。得到态密度为：
对于复合系统，一个常见的操作是求偏迹，即通过对某个系统取平均消除这个系统的影响，例如对求偏迹：
我们可以计算它的纯度：
可见，它是一个混合态。
Bloch球
对于单量子比特态，并且考虑纯态，态密度矩阵为：
对于单位球上任意一点，有
这样就将态密度矩阵在单位球面上展开了，对比得到，于是：
因此和球面上的一个点对应。
我们考虑它的纯度：
这里利用了。因此在球面上，为纯态，在Bloch球内，则为混合态，且最大混合，即.
Bloch球还有一个特征是同一直径上对应两点，即是正交的：
得到：
4.4 角动量合成
总角动量和分量
对于两个自旋粒子，系统可以取，考虑系统的总自旋可以由两个粒子的自旋叠加：
于是：
这里由于两个粒子的算符在不同的希尔伯特空间上，因此天然对易。
对于复合系统，同样有总角动量和角动量分量关系：
本征方程与本征值
对于角动量分量容易计算：
这意味着系统的四个态为角动量分量的本征态。对于总角动量，我们要利用：
得到：
同理：
它们都属于的态，但是：
这意味着，的两个态不是总角动量的本征态，我们必须构造本征态，考虑在基下算符的对角化，首先考虑矩阵元
同理可以证明其他三个元也是，于是
考虑对角化，利用本征方程：
解得：
解出：
即对于有：
称为自旋单态。
对于有：
另外两个态为：
称为自旋三重态。
4.5 电子在磁场中
磁场中电子的哈密顿量为：
而对于有自旋的点子,故：
假设磁场沿着方向：
对于电子的两个自旋对应两个哈密顿量：
考虑粒子初始为，那么时刻为：
那么：
归一化：
取，代入：
同理：
并且有：
对于施特恩-盖拉赫实验：
势能为：
得到本征值为：
因此本征方程为：
- 作者:向思齐
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