Chapter 2 一维定态问题

Section 1 无限深方势阱

基本定理

首先我们介绍4个定理：

1.对于一维运动的粒子，设是定态薛定谔方程对应本征值的两个解，则：

这个证明是比较简单的，对其求导，将薛定谔方程代入即可。这其实是朗斯基行列式，当常数不等于0，表明线性无关，当常数为0，则线性相关

2.如果是规则的势场，即没有奇异点，如果存在束缚态，则一定不是简并的。

证明：

如果存在简并态，则满足定理1，则当，根据束缚态的性质，波函数趋于0，朗斯基行列式为0，意味着两个波函数线性相关，即同一个态。

这是因为，束缚态作为一种边界条件，保证了薛定谔方程在确定能量下的解的唯一性。

3.如果势能函数具有偶宇称，，且是薛定谔方程的一个解，那么也是薛定谔方程的一个解。

结合前面的1，2看到，如果不是束缚态，则这两个解线性无关，如果是束缚态，它们应当满足

4.如果势能函数具有偶宇称，，对应一个本征值，总可以找到定态薛定谔方程的一组完备解，他们中的每个解都有确定的宇称。

如果不是束缚态，则线性无关，则我们可以找到，显然是偶宇称，是奇宇称。

如果是束缚态，意味着，则有：，从而得到，只要系统能量不为0，就有，，于是，这就表明函数有确定的宇称

无限深方势阱

势能写为：

这是一个束缚态势能，表明只有一个线性无关解，且势能偶宇称，故解一定有确定的宇称。

首先在趋于，由于势能无限大，，并且提供边界条件，在内就有：

取，得到

这是一个波动方程，解为指数形式或者三角形式，由于有确定的宇称，因此我们取三角形式，即：

代入边界条件：

得到：

以及归一化：

从而我们得到：

代入边界条件：

得到：

以及归一化：

从而我们得到：

综合一下：

可以看到，波函数在不同的能级表现出不同的奇偶性，例如从基态开始（对应的余弦解）是偶宇称，（对应的正弦解）是奇宇称，等等

第个能级的波函数在势阱内的节点数目为

不同能级的波函数正交归一，它们构成一套完备正交函数集，则初始时刻，粒子的状态可以写成：

从而考虑时间演化：

对于基态即时，最低能量为：

这表明量子力学中粒子没有绝对静止，因为根据海森堡不确定原理，动量不能为0。考虑，则，动能为：，这称为零点能。

相邻能级的能量差为，意味着能级越高，能级间距越宽

最后我们再介绍两个定理：

5.如果是薛定谔方程在能量的解，那么也是薛定谔方程的能量为的解（通常势能为实数）

6.对于某个，总能找到薛定谔方程的一组完备的实数解，使得凡是对应的解都可以表达为这组解的典型组合

证明：

如果是对应的解，则根据定理5，也是一个对应的解，那么就可以找到：

也是方程对应的解，而且它们都是实数解。反解出：

这意味着，任意解都可以表达为这组实解的线性组合。

Section 2 有限深方势阱

阶梯形方势

势能函数为：

其中有限

我们将要证明，对于这样的阶梯形方势，定态薛定谔方程的解和是连续的。

证明：

我们重点关心边界处，考虑薛定谔方程：

改写为：

在积分：

左侧等于，右侧利用积分中值定理，当时：

利用了有限，则：

这表明在两侧连续，因此也连续，连续性条件是有限。

有限深方势阱

势能函数为：

当时，动能必定大于0，此时粒子处于自由态，我们不讨论这种情况，我们只讨论时的束缚态。

对于，薛定谔方程为：

化简为：

其中是衰减系数，波函数有两种形式解，当，希望波函数趋于0，因此取

由于束缚态，无简并，且有确定宇称：

这是偶宇称情况，奇宇称情况为：

2.当时，薛定谔方程为：

化简为：

其中定义为波数，波函数有两种形式解，并且仍然有确定宇称：

这是偶宇称情况，对于奇宇称情况：

3.对于偶宇称，波函数为

导函数为：

我们考察，它也是连续的：

从而有：

两边同时乘以，取，有超越方程：

又：

得到：

联立(2.1)，（2.2）可以数值法解出超越方程。

疏虚线是(2.1)的图像，密虚线是(2.2)的图像，因此对于偶宇称，无论多大，至少有一个解，当时，有一个交点，等等，当时，有个交点。每一个解都代表着一个态及其对应的能量

4.对于奇宇称，波函数为

导数为：

我们考察，它也是连续的：

得到：

两边同时乘以，取，有超越方程：

以及

联立(2.3)，（2.4）可以数值法解出超越方程。

对于奇宇称，不一定有解，当，无解，当，有1个解，等等，当时，有个解。

当，上述结果将还原到无限深势阱的结果。表示波函数穿透势阱的深度，考虑处于底部，，则趋于0，,对于偶宇称，即(2.1)，，对于奇宇称，即(2.3)，，从而就有：

得到：

这比无限深方势阱的能量只多了一个常数，由于势能零点的选择不同导致的

Section 3 一维散射

有限深方势垒的衰减透射解

势能函数为：

并且考虑，这意味着粒子不会完全透过势垒，而是穿出衰减的透射波。考虑：

1.，薛定谔方程为：

其中为波数，从而有波函数解：

第一项代表入射波，第二项代表反射波，参数待定。

我们先来讨论的含义，求入射波概率流密度：

从而：

2.，透射波的薛定谔方程为：

解为：

概率流密度：

从而：

3.，薛定谔方程为：

其中是衰减系数，解为：

在波函数连续，得到：

在波函数一阶导连续，得到：

联立得到：

在波函数及其一阶导数连续，得到：

得到：

联立(2.5)(2.6)得到：

化简得到：

再联立得到：

变化为：

解出：

故透射率为：

即：

当，从而：

这就是透射率近似公式，这种现象称为量子穿透。

将(2.7)的表达式相除：

从而得到：

从而展开为：

最后我们有：

这就是反射率公式。

满足：

有限深方势垒的完全透射解

当时，在区域有：

从而有解：

即只需要：

得到：

当时，，此时发生完全透射。

有限方势阱

势能函数定义为：

在区间的薛定谔方程为：

得到：

容易用上一节直接得到：

当时，，，就好像势阱不存在，但当，，，这就是量子力学的干涉效应。

当时，，那么透射系数很小，此时当，透射系数为，称为共振透射。

Section 4 谐振子

代数解法

谐振子的哈密顿量为：

如果我们定义：

我们要解释这样做的物理意义，我们通过计算：

也就是说：

然后我们代入对易子为：

得到：

现在我们考虑本征值方程，有：

作用在上，有：

这就是说也是的本征态，且能量本征值为，这意味着让能量升高了，我们称为产生算符或者升算符。

作用在上，有：

这就是说也是的本征态，且能量本征值为，这意味着让能量升高了，我们称为湮灭算符或者降算符。

现在我们要用其解出基态的能量和波函数，考虑对于某一个态，再次作用湮灭算符就使其下降为0，即：

代入：

容易解出：

归一化：

而对于能量：

进而我们不难求出其他对应的能量：

而对于波函数，我们首先来考虑归一化的问题，对于，我们不知道是否归一化：

这里也间接的证明了

这表明的施加会导致不归一化，因此我们首先就要修正归一化：

现在我们来证明这一波函数族是正交的：

我们首先要给出的作用：

以及的作用：

代入得到：

即：

可以看到：

设，因此：

最后我们证明当时，有：，这只需要：

只要，都等于零，因此得到

代回就有：

取厄米共轭：

最后对于就有：

这就是归一化，写到一起：

解析法

完整的写出薛定谔方程：

这是一个二阶常微分方程。

我们化成：

我们注意到，对第二项中的换元会影响到第一项，我们做一些改动：

这样取，，我们先验的知道，是能级与基态能量的比，于是得到：

等价为一个无限深的势阱，因此粒子只存在束缚态，即，因此我们先分析的渐近行为，得到：

可以验证这个方程的解为：

第二个解不满足边界条件，舍去，考虑时：

将其带入原来的方程：

有：

设级数解：

有：

得到：

从而得到：

即：

这意味着数列是分奇偶递推的，即：

接下来我们将要说明，如果我们允许这种递推无限制发生，波函数将会在边界发散。

考虑j很大，有：

从而：

从而得到：

因此：

这个波函数在边界发散，因此我们不能允许递推无限发生下去，而是找到一个截断，这就说，找到一个，存在使得：

于是能量本征值为：

对于基态，时，，还必须取以保证收敛，从而：

因此波函数为：

归一化为：

对于第一激发态，，即，，此时必须让，进而：

于是波函数为：

归一化后：

如此等等，得到：

Section 5 势阱和势垒

势阱

势能函数为：

从而薛定谔方程为：

改写为：

积分：

因此除非，不连续。在处：

我们不考虑的情形，我们只考虑束缚态，因此：

从而解的形式为：

再考虑束缚态边界条件：

考虑

1.偶宇称：

从而：

得到：

又,得到：

归一化：

从而波函数为：

2.奇宇称

从而：

得到：

因此：

即势阱没有奇宇称

势垒

势能为：

薛定谔方程为：

从而：

积分：

因此除非，不连续。在处：

考虑，则：

考虑粒子从左侧入射：

考虑0阶连续：

考虑1阶满足：

代入：

以及：

因此透射系数为：

因此当时，，而反射系数为：

最后我们要做的是验证几率流密度守恒，右侧透出的几率流为：

左侧透入的几率流为：

即概率论密度守恒。

Section 6 周期场与能带

Floquet定理

Floquet定理表述如下，考虑周期场：

Floquet定理表述如下：设是薛定谔方程对应E的两个线性无关解，并且满足：

那么也是薛定谔方程对应E的两个解，且有：

我们来逐步证明：

我们能够证明，总能找到，满足

证明：

代入：

从而：

正交性积分：

得到：

要求有解：

得到：

解出：

进而得到两个解：

我们要进一步证明，

考虑Floquet定理：

这意味着在无穷远处的norm正比于，为了保证波函数在希尔伯特空间，要求

我们还有，在本节一开始证明的

取，有，由于是常数，因此

因此我们取

Floquet定理

最后我们证明Bloch定理，floquet定理表明，，考虑取，则：

能带结构

根据Floquet定理，对于周期势能，解表达为：

考虑，则：

考虑在处零阶和一阶导数连续：

写成矩阵形式可以得到有解条件：

由于，这就是得只有部分能量满足，形成能带结构。

Section 7 动量表象

我们从哈密顿算符的本征方程出发：

在动量表象展开：

这样，关键在于，考虑：

而：

我们已经知道了后面两项就是傅立叶因子：

你可直觉到：

其实你可以理解到：

这里表示动量表象的势，因此：

这就是从位置表象的势能转化到动量表象的方法，即直接替换

我们来考虑势阱：

在表象下展开：

考虑插入恒等算符：

可以看到位置空间的一个是动量空间的全域常数势，注意到：

即积分方程。写为：

对于积分方程，技巧是利用自洽条件：

对于，分母恒定为正，积分容易解出：

对应的波函数为：

能够证明通过表象变换就可以使其回到坐标空间的解。

如果，这个积分必定经过两个零点，是一个瑕积分，解决方法是取柯西主值，容易发现积分结果是0，这要求，可以证明这要求。

但是直接取主值的方法并不严谨，我们重新考虑积分：

并且考虑将其在复平面上用围道积分重写：

在时，右侧4，5，6项为0，这个就是我们要求的积分，即主值。在这里看来，如何选取是随意的。

但是如果我们将变换回位置空间：

围道的选择将会影响最后波的形式，或许是完全非物理的，或许是正向演化的或许是反向演化的。