一、玻尔兹曼统计
微观状态数
出发点是空间，即相空间，坐标-动量空间，如果考虑一个点代表一个状态，一定体积内的状态数将是无穷大，因此总是考虑单位格子作为最小单位，称为相格。
因此一个相格内可以有多个粒子，这些粒子的状态都是相同的，因此同一相格中的粒子发生交换，体系的微观状态不变；而在不同相格中的粒子发生交换时，体系将出现不同的微观状态。
每一个能层上的粒子数，因此系统的状态为，考虑每一个能级中的粒子有个子态，那么首先考虑，将个粒子按照的方法划分，有：
种可能，而对于每个能量，又有
种可能，因此得到：
这就是微观状态数公式。
等概率原理
在整个孤立系统处于统计平衡时，系统所有微观态出现的概率是相等的。
这意味着，微观状态数越大，该分布出现的概率越大，概率最大的分布称为最概然分布。
在通常的系统中存在两种守恒，即粒子数守恒：
和能量守恒：
这个能量守恒意味着不考虑粒子之间的作用。（真是这样吗？）
玻尔兹曼分布
因此，我们考虑的问题是，在粒子束守恒和能量守恒下的最概然分布，即求：
考虑可以等价为对数似然，即：
考虑为拉格朗日乘子法：
考虑展开第一项：
使用stirling公式，当很大时：
从而：
代入乘子法：
化为：
于是：
得到：
总数：
就是我们称为配分函数的东西。
因此：
考虑能量连续，即，那么有：
二、配分函数技术
内能
显然能量，即内能有：
在连续情况：
而我们考虑：
因此：
广义功
由于外部参量的变化导致能级移动，这等价于系统收到广义力
因此系统受到的总广义力为：
因此系统对外界做的功为：
熵
根据热力学第一定律：
考虑代入：
考虑：
可以看到后两项是的全微分，即：
从而：
从而：
自由能
根据自由能公式：
三、能量均分定理
处于温度为T的平衡态的经典系统中，一个粒子的能量ε分配在每个独立平方项上的平均值等于
考虑能量为：
从而：
于是：
而：
而：
那么：
而：
故：
四、玻耳兹曼统计的应用
量子谐振子
能量公式为：
那么：
从而N个谐振子组成的系统的配分函数为
自由能为：
进而得到其他物理量。
- 作者:向思齐
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