第一章流形和张量场 | XiangSiqi’s Blog

拓扑空间和微分流形

卡氏积、距离和连续

首先定义卡氏积：

它将两个上的非空集合映射到上。

以及距离(Distance):

这里是定义在上的元素。

我们在上已经定义过连续，现在我们给出它的一个等价定义：

它的意义如下图所示：

显然的逆像是，因此不连续。

拓扑空间

拓扑

为了在任意集合上用集合语言定义连续我们必须引入任意集合的开子集的定义，在中开子集的定义满足：

和都是开子集

有限个开子集之交还是开子集

任意个开子集之并仍然是开子集

对于集合满足上述三个条件的开子集定义是很多的，通过指定开子集的定义我们就确定了拓扑，因此我们定义拓扑为若干子集的集合：

对于非空集合，它的拓扑满足：

，则

于是我们称构成一个拓扑空间。

我们介绍几个典型的拓扑空间：

离散拓扑：为全部子集的集合。

凝聚拓扑：

通常拓扑：

这里开球定义为。今后在把当作拓扑空间时，默认指的是。

下面我们定义诱导拓扑，诱导拓扑的情景时考虑是的子集，的拓扑是，由于是子集关系，我们希望的拓扑能够尽量靠近，显然当时，可以直接取拓扑为，但是当不满足这个条件时，我们就必需定义为：

这样我们说为的由导出的诱导拓扑，为的拓扑子空间。

拓扑映射与同胚

现在考虑两个拓扑，和，则连续定义为：

以及同胚定义为：对于映射，满足：

是一一到上的

与都是连续的

则称为同胚映射，简称同胚。显然连续的定义依赖拓扑结构，因此同胚也依赖于拓扑结构。

微分流形

微分流形是在拓扑结构中嵌入微分结构定义出来的。

定义微分流形如下：

考虑有开覆盖，即，并且满足1.，存在同胚映射 2.对于， is ，即无穷光滑，此时称为微分流形。

上述定义的示意图如下：

显然，微分流形是通过同胚映射将的引入到流形中，从而嵌入了微分结构，这里就定义在上，完成的是到的坐标变换，因此我们称成为坐标系或者图，称为图库。

一个典型的例子是平凡流形：

由于引入了微分结构我们可以定义流形到流形的映射的类，如下图：

我们定义映射是类的如果是类的。

进而我们可以定义微分同胚映射：

满足1.是一一到上的2.和是的，则称为微分同胚映射，简称微分同胚。

当是时，称为标量场。我们主要称其为标量场是因为，在选定之前不能给出具体的内坐标的形式。

现在我们考虑，这个映射的性是well defined，即确定的，那么由确定性。现在考虑上全体的的集合，即所有光滑标量场的集合记为。

切矢和切矢场

矢量与线性结构

矢量的定义

现在我们定义的矢量为：

并且要求对于满足：

线性律：

莱布尼兹律：

满足这样定义的矢量是无穷多的，例如，考虑的坐标系为，确定的坐标为，因此任意映射形成元函数，定义点的个矢量为：

显然满足线性律和莱布尼兹律。通常也简写为：

但是注意此时不是映射而是带坐标的函数。

定理：，这里是中点所有矢量的集合。

Proof:

首先定义加法、数乘和零元：

3.定义零元满足

现在取基底为，在确定坐标系后的，那么证明其线性无关即证明：

而可以看作是坐标域上的函数，得到：

即找不到一组非零系数使之成立，故线性无关，即

最后证明，对于有，即，即是的坐标基矢，为坐标分量。这一步证明省略。

分量变换

定理：考虑上的两个坐标系，且对应的坐标域的交集非空，为交集中的一点，，在两个系取到坐标分量，则满足：

Proof:

考虑对于，两个坐标系的坐标基矢有：

又有：

这里表示取到在坐标系和的坐标，它们之间有变换关系存在：

从而有：

得到：

于是任意矢量可以展开为：

由线性空间性质得到：

曲线和切矢量

曲线

我们首先引入曲线的定义：

考虑为的一个区间，称类映射为上的一条类曲线，则对于任意，有唯一的点与之对应，为曲线的参数。如下图所示：

通常我们考虑的是的情况。值得注意的是，曲线指的是映射，而不是通常的观念中的。因此，如果有两个曲线的像重合，我们并不认为它们是一条曲线，如下图：

我们考虑从到有映射关联，即，且如果是到上映射，满足，有处处非零的导数，此时我们称为的重参数化。

考虑的坐标系，，，因此复合映射，因此这是个一元函数，称这个等式为曲线的参数方程或参数（表达）式。

从这里出发可以定义坐标线：设为坐标系，为坐标，为子集，则：

定义为坐标的坐标线。

切矢

下面我们考虑对象，，而考虑点在曲线上，即，则复合映射，因此这是一个的一元函数。

定义切矢为：

这里总是要记住，当讨论变化时，我们不能直接知道在流形上的微分结构，除非我们引入映射，并在欧几里得空间中才能定义出微分结构。这就是为什么你可以考虑，得到：

这就是“速度“。我们经常将切矢算符写为：

这个时候当你将作用在上时，由于偏导数的存在，实际是作用在上的。在坐标系中展开：

Proof:

考虑依旧将，并且显然满足交换律和莱布尼兹律，因此，能够用坐标基展开：

考虑右乘：

得到：

从而：

证毕。

最后我们讨论平行矢量，我们定义：非零矢量称为互相平行的，若使得。

现在我们考虑是的重参数化，则满足：

即两个曲线在同一点的切向量是平行的。

Proof:

由于重参数化，因此，则考虑，有，故：

因此得到：

最后我们要谈到的是，对于对应的矢量空间中的任何一点，即上的任意矢量，都可以找到曲线使之是曲线的切矢量，因此又称为切空间。

矢量场

矢量场的定义

我们直接定义矢量场：为的子集，若中每点指定一个矢量，就得到定义在上的矢量场(vector field).

我们之前定义过矢量，因此，考虑点的矢量，同理对于点，因此，这是一个标量场。即矢量场可以考虑成把函数变成函数的映射。

下面我们定义矢量场的类：若，将矢量场作用到得到的函数是类函数，则称是类的。通常矢量场指的是（光滑）矢量场。

有定理：上的矢量场是类的充要条件是它在任一坐标基底的分量为类函数。

Proof:

考虑某一点的是矢量，用基底展开

因此：

因为是类，因此也是类，这就是充分性。

而考虑：

根据类的严格定义，是类，因此是类，又是类，因此是类。这就是必要性。

对易子

考虑是函数到函数的映射，因此考虑复合映射，或写成，由此引入对易子：

显然。

积分曲线

接下来我们定义积分曲线：曲线叫矢量场的积分曲线，若其上每点的切矢等于该点的值。

并且我们指出，这样的积分曲线在初值确定时是确定的。

Proof:

考虑在坐标系中的表达式为，切矢量为：，并且我们已经得到

而也可以用基矢展开为：

因此相等要求：

这是个1阶常微分方程，在规定初值下有唯一解，证毕。

单参数同胚群

最后我们来讨论一下群，首先我们给出群的数学定义：

考虑一个集合，满足以下条件的映射（群乘法）：

恒等元，使得

，逆元满足

满足以上条件的结构称为群，群是描述对称性的有力工具，例如平移变换，可以用群标记为，并定义群乘法为，显然恒等元为，逆元为。由于只有一个参数，我们又称为单参数群。并且由于是一个微分同胚，因此为上的单参数微分同胚群。

现在我们推广到一般流形上，考虑，或者说：，这就是通常教材上的单参数微分同胚群：

映射称为一个单参数微分同胚群如果：

是微分同胚，

而我们考虑到确定的，有，此时为光滑曲线，考虑，这个曲线叫做单参微分同胚群过点的轨道。定义这条曲线在的切矢为，按这种方式可以获得上的一个光滑矢量场。这就是说，一个单参微分同胚群对应着矢量场。我们讨论它逆命题，即一个矢量场对应着一个单参微分同胚群。考虑矢量场，对应着过的积分曲线，利用这个曲线定义，即定义为参数值于差值为t的点，从而矢量场对应着单参数微分同胚群（全局上有问题）。

对偶矢量场

对偶

对偶矢量

定义：

考虑是上的有限维矢量空间，线性映射称为上的对偶矢量。上全体对偶矢量的集合称为的对偶空间，记作。

并且有定理：

Proof:

同样首先考虑定义线性运算，考虑

因此首先证明线性独立，考虑的个基矢量，我们要证明在能找到个基矢量，并且互相之间现象独立，即：

显然作用在上得到：

只要定义

得到，因此得到组基底线性独立，它们为。

再考虑能够用这个基底张成整个空间，我们构造，且考虑，我们需要证明，将等式作用在上：

显然成立，因此能够基底能够张成整个空间。

同构映射

我们首先引入同构的定义：

两个矢量空间叫做同构的，当两者存在一一到上的线性映射（称为同构映射）。当两个线性空间维数相同时，它们就是同构的。

显然，和是同构的，因为它们的维数相同。同构映射的形式取决于中的基矢的选择，这里并没有更优的基矢选择。

但是作为矢量空间，它的对偶空间的元素作用在的元素上，有一个特别自然的取法：

由于，自然有，因此和是一个同构映射。

基底变换

考虑矢量空间有一基底变换，则对应的对偶基底的变换为：

Proof:

将等式作用在上，左侧为，右侧为：

考虑，因此得到：

因此左右侧相等，证毕。

对偶矢量场

让我们回到流形，考虑流形上一点的矢量空间，它的对偶空间为，如果在上每点指定一个对偶矢量，这就构成上的一个对偶矢量场。

对偶矢量场确定的是对偶矢量，要求传入点和矢量，即，因此是一个标量场，考虑对于若其属于则称其为光滑的。

因此为对偶矢量，作用到矢量上，即。最简单的作用形式为：

值得注意的是，满足线性律和莱布尼兹律，这恰恰是的特征。即，是一个对偶矢量场。

现在我们考虑坐标系，则分量的微分为，满足：

这意味着，为的对偶矢量场的基底。因此任意可以用其展开：

因此考虑，则：

并且考虑两个坐标系的域重叠，对偶矢量场分量分别为，则：

得到：

张量场

定义和卡氏积

我们直接给出张量的定义：

这种张量称为型张量。因此的对偶矢量是一个型张量，而可被认同为，是型张量。用表示张量组成的集合。

考虑，，因此考虑为，同理，这些映射都是线性映射。梁灿彬称为张量面面观。

定义张量积为张量的卡氏积：

通常张量积不满足交换律。

现在考虑，例如，那么得到空间的基矢量为，为，得到八个元素：

则张量可以用其展开：

其中：

缩并

考虑形张量，